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Département de mathématiques de l'Université de La Rochelle

 

Chapitre 4 - Le théorème
des quatre couleurs

 

A - Introduction

Ce n'est pas un événement d'une rareté extrême, en mathématiques, que de voir démontrée une conjecture célèbre. Lors de la dernière décennie, cela s'est produit trois ou quatre fois. Il existe, en réalité, d'assez nombreuses conjectures célèbres, de ce genre de célébrité bien particulière qui ne sort jamais d'un cercle plus ou moins large d'initiés... C'est d'ailleurs une difficulté que vivent quotidiennement les mathématiciens dans leurs relations avec leur entourage : une tournure d'esprit extrêmement particulière, une logique sans faille mille fois écorchée par les abus du langage courant, des plaisanteries qui souvent ne font rire qu'eux, la distance sidérale entre la plupart des problématiques des mathématiques et les questions que semblent poser naturellement la vie, l'observation et la curiosité courantes... Quand viennent s'ajouter, aux difficultés de se mouvoir dans une telle forteresse de rigueur, celles communes à toute activité académique constituée depuis suffisamment longtemps : accumulation des connaissances et mise en place subséquente de l'inévitable vocabulaire spécialisé destiné à les codifier, quand, donc, vient s'additionner une telle série de handicaps, il n'y a rien d'étonnant à ce que la preuve de la conjecture de Mordell sur le nombre de points rationnels des courbes algébriques de degré supérieur à 1 ou du théorème de classification des groupes finis simples ne bénéficient jamais des auspices du prime-time... On peut sans doute éprouver un certain sentiment d'injustice et de malentendu à comparer l'effet de l'annonce de la découverte d'une nouvelle particule et de celle du dernier des groupes simples, mais il faut avouer que nous nous sommes bien habitués à cette situation et savons parfois même, à l'occasion, tirer quelque avantage du statut de savant incompris.

Il n'en demeure pas moins que quelques conjectures parviennent à franchir la barrière des media, parce qu'elles ne font référence qu'à des concepts accessibles à une majorité, et sans doute aussi parce que leur apparente simplicité semble laisser leur chance même à des non professionnels. Les deux sujets les plus célèbres auxquels on puisse prêter ces traits sont probablement le dernier théorème de Fermat et les questions liées à la construction des nombres à la règle et au compas, notamment la quadrature du cercle et la trisection de l'angle. Le problème dont nous allons parler aujourd'hui fait partie de ces conjectures pour tous. Son énoncé est même plutôt plus simple que celui du théorème de Fermat ou de l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Théorème - (théorème des quatre couleurs)

Toute carte de géographie est coloriable avec quatre couleurs sans que deux régions frontalières ne soient colorées de la même manière.

Il est hors de question de donner, dans le cadre d'un tel exposé, une preuve, même très partielle, de ce théorème, démontré en 1976 par deux mathématiciens de l'Université de l'Illinois, Kenneth Appel et Wolfgang Haken. Ceci pour la raison que leur démonstration repose crucialement sur la longue étude, au cas par cas, d'un ensemble de près de 2000 configurations géographiques particulières, étude menée pour l'essentiel sur ordinateur et nécessitant de tels temps de calcul qu'aucune vérification humaine n'est aujourd'hui envisageable - de sorte que la question de l'existence d'une preuve ``à visage humain'' du théorème des quatre couleurs reste ouverte. Nous nous attacherons plutôt à décrire la démarche suivie par les mathématiciens qui se sont attaqués au problème, à montrer notamment comment cette résolution trouve un cadre naturel dans la théorie des graphes, et enfin à envisager, s'il nous reste un peu de courage, la généralisation du problème aux cartes de géographie dessinables non planaires.