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Département de mathématiques de l'Université de La Rochelle

 

Chapitre 4 - Le théorème
des quatre couleurs

 

E - La faille dans le raisonnement de Kempe

Avant d'échanger la couleur de A de 1 en 3, il est certes vrai qu'existent deux chaînes, formée l'une de pays de couleurs 2/4, l'autre de pays de couleurs 2/3. Si le changement de couleur de A n'affectait ni 2 ni 3, la chaîne 2/3 serait à coup sûr non affectée par celui-ci, et on pourrait encore compter sur elle au moment de procéder à la modification de C. Mais le premier voisin de A de couleur 3 qui devient de couleur 1 peut très bien être aussi le premier voisin de B de couleur 3 dans la chaîne 2/3 reliant B à D. Sa réaffectation de couleur peut donc rompre cette chaîne, ouvrant ainsi une brèche pour le passage d'une chaîne CE de couleurs 1 et 4. Les dessins qui suivent montrent comment s'opère la rupture.

 

Rupture de chaîne...

 

Comme nous l'avons dit dès le début, lorsque John Heawood découvrit l'erreur dans ce raisonnement, tout ne fut pas perdu pour autant. En adaptant les arguments de Kempe, il parvint notamment à établir le théorème des cinq couleurs démontré dans la section précédente. Mieux encore, et un tel fait n'était guère prévisible a priori, le principe même de la démonstration est finalement celui utilisé par Haken et Appel pour prouver le théorème, quoique durant tout le vingtième siècle plusieurs autres approches aient été tentées, certaines suffisamment prometteuses pour que les auteurs des divers ouvrages traitant du théorème, du temps où il n'était encore qu'une conjecture (comme par exemple celui de Ore mentionné plus haut), aient pu alors les considérer comme la bonne approche du problème.