Département de mathématiques de l'Université de La Rochelle

 

PROBABILITES ET STATISTIQUES - Découvrir le site

 

L'objectif de cette formation de statistiques et probabilités est d'apporter aux enseignants de lycée une familiarité avec les concepts de probabilités qui sous-tendent les nouvelles orientations des programmes de seconde, première et terminale.

L'approche proposée par les nouveaux programmes est en rupture marquée avec les usages précédents. Elle repose notamment sur une forte interaction entre statistique et probabilité, rehaussant ainsi la statistique du rang de chapitre souvent marginal à celui de chemin privilégié vers les probabilités. C'est l'esprit de l'introduction de la notion de fluctuation d'échantillonnage en classe de seconde, en vue d'une approche des probabilités sous le point de vue dit "fréquentiste". On verra que ce point de vue est très cohérent épistémologiquement parlant, car c'est celui qui donne le plus de sens à la validation expérimentale des modèles. Il pose aussi de manière cruciale deux questions importantes liées à la modélisation : pourquoi choisit-on un modèle, comment le valide-t-on?

Parmi les questions que pose le programme de seconde, on peut citer pêle-mêle le rôle de l'expérimentation et celui de la simulation, les tests de qualité de ces simulations, et le problème du choix d'un modèle, choix sans lequel il devient quasiment impossible de réaliser une simulation. Les deux premières questions trouvent à la fois des réponses probabilistes et statistiques, la troisième soulève des difficultés scientifiques, mais aussi didactiques et épistémologiques.

Ce site propose un certain nombre d'éléments théoriques et d'activités illustrant ces apports théoriques. Certaines de ces activités sont utilisables sans modification (ou presque) avec les élèves, d'autres devront faire l'objet d'une importante didactisation, et resteront parfois réservées aux enseignants.

La formation proposée intègre des aspects didactiques et académiques. Elle vise à fournir :

  1. des éléments épistémologiques sur les choix faits au cours de la modélisation probabiliste, en relation avec l'élaboration expérimentale de la loi des grands nombres proposée dans le programme de seconde.
  2. des activités, utilisant en général des outils informatiques, illustrant un certain nombre de situations probabilistes classiques, ainsi qu'une réflexion didactique sur la pertinence de certaines de ses activités ;
  3. une investigation statistique conséquente couvrant l'ensemble des programmes de lycée et BTS ;
  4. un certain nombre d'approfondissements probabilistes, à la périphérie ou totalement externes aux programmes de lycée, mais qui peuvent faire l'objet d'activités expérimentales et/ou de simulation.

La suite de cette page contient une description des divers chapitres de cette formation, ainsi que des liens permettant d'accéder à ces chapitres. A chaque chapitre est associée une bibliographie très courte, et bien sûr loin d'être exhaustive. On trouvera là, plus que des références encyclopédiques, surtout un ensemble d'ouvrages qui ont inspiré l'auteur, parfois depuis longtemps, parfois de plus fraîche date, dans l'élaboration du contenu de ce site. Enfin, on trouvera à la fin de cette page quelques liens (dont la pérennité n'est évidemment pas garantie) vers des sites présentant des ressources en relation avec les probabilités et statistiques.

Avant de commencer le cours [et à tout moment de la formation], on pourra utiliser les pages de rappels mentionnées ci-dessous pour fixer un point de vocabulaire, ou se remémorer une technique de calcul. Des liens vers ces pages de rappels figurent également à l'intérieur des chapitres listés plus bas.

Les quatre premiers chapitres du site concernent la loi naïve des grands nombres, et les choix de modélisation qui en résultent. Notre objectif est de faire apparaître la théorie des probabilités comme une abstraction mathématique dans laquelle "tout est fait pour que la loi des grands nombres soit vraie". La dernière partie de la phrase peut se comprendre ainsi : les objets introduits au sein du modèle (probabilité et espérance en particulier) le sont en conformité avec les idées naïves que l'on peut avoir après expérimentation, et la théorie probabiliste construite autour de ces définitions conduit à des théorèmes qui, une fois traduits dans la réalité, se révèlent en accord avec ces idées naïves. Il est important de garder à l'esprit ce permanent aller-retour entre théorie et expérience qui est l'une des caractéristiques des sciences "modélisatrices", et pour lequel l'image de la physique ou de la chimie nous semble tout à fait pertinent.

Les chapitres 5 et 6 portent sur la théorie de l'estimation et des tests statistiques. Ils visent à donner un apport de connaissances sur les éléments de statistiques inférentielles présents dans un certain nombre de programmes de lycées et BTS. Ces chapitres s'appuient sur le théorème central-limite rencontré au préalable, ils sont illustrés par des activités issues de manuels de lycée, et en particulier par des investigations sur des probabilités difficiles voire impossibles à calculer mais assez faciles à estimer.

Le chapitre 7 s'appuie sur tout ce qui précède pour fournir une approche statistique de la notion de conditionnement et d'indépendance. Cette approche vise à fournir des éléments épistémologiques et didactiques susceptibles de faciliter l'introduction de ces notions face aux élèves. Elle nous conduit assez naturellement à introduire deux concepts hors des programmes de lycée : celui d'indépendance de variables aléatoires (généralisation assez naturelle de l'indépendance des événements) et celui d'espérance conditionnelle, a priori moins naturel mais dont on observe tous les jours des exemples dans l'interprétation des sondages.

Les quatre derniers chapitres forment une ouverture vers un certain nombre de domaines que l'on rencontre, parfois sans le savoir, dans les exercices de lycée, domaines pour lesquels existent souvent des théories tout à fait constituées dont la connaissance permet de replacer ces exercices ou activités en contexte, voire d'en proposer de nouveaux. Le dernier chapitre tient une place un peu particulière, puisqu'il propose l'étude d'un certain nombre de problèmes et de méthodes d'analyse combinatoire : on quitte là la démarche statistique suivie dans l'ensemble de ce cours pour revenir à une questionnement classiquement associé aux probabilités, celui des dénombrements. On verra que se trouvent là quelques merveilles de raisonnement qui méritaient bien une petite digression...