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Département de mathématiques
de l'Université de La Rochelle
PROBABILITES
ET STATISTIQUES - Découvrir
le site
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L'objectif
de cette formation de statistiques et
probabilités est d'apporter aux
enseignants de lycée une familiarité
avec les concepts de probabilités
qui sous-tendent les nouvelles orientations
des programmes de seconde, première
et terminale.
L'approche
proposée par les nouveaux programmes
est en rupture marquée avec les
usages précédents. Elle
repose notamment sur une forte interaction
entre statistique et probabilité,
rehaussant ainsi la statistique du rang
de chapitre souvent marginal à
celui de chemin privilégié
vers les probabilités. C'est l'esprit
de l'introduction de la notion de fluctuation
d'échantillonnage en classe de
seconde, en vue d'une approche des probabilités
sous le point de vue dit "fréquentiste".
On verra que ce point de vue est très
cohérent épistémologiquement
parlant, car c'est celui qui donne le
plus de sens à la validation expérimentale
des modèles. Il pose aussi de manière
cruciale deux questions importantes liées
à la modélisation : pourquoi
choisit-on un modèle, comment le
valide-t-on?
Parmi
les questions que pose le programme de
seconde, on peut citer pêle-mêle
le rôle de l'expérimentation
et celui de la simulation, les tests de
qualité de ces simulations, et
le problème du choix d'un modèle,
choix sans lequel il devient quasiment
impossible de réaliser une simulation.
Les deux premières questions trouvent
à la fois des réponses probabilistes
et statistiques, la troisième soulève
des difficultés scientifiques,
mais aussi didactiques et épistémologiques.
Ce
site propose un certain nombre d'éléments
théoriques et d'activités
illustrant ces apports théoriques.
Certaines de ces activités sont
utilisables sans modification (ou presque)
avec les élèves, d'autres
devront faire l'objet d'une importante
didactisation, et resteront parfois réservées
aux enseignants.
La
formation proposée intègre
des aspects didactiques et académiques.
Elle vise à fournir :
- des
éléments épistémologiques
sur les choix faits au cours de la modélisation
probabiliste, en relation avec l'élaboration
expérimentale de la loi des grands
nombres proposée dans le programme
de seconde.
- des
activités, utilisant en général
des outils informatiques, illustrant un
certain nombre de situations probabilistes
classiques, ainsi qu'une réflexion
didactique sur la pertinence de certaines
de ses activités ;
- une
investigation statistique conséquente
couvrant l'ensemble des programmes de
lycée et BTS ;
- un
certain nombre d'approfondissements probabilistes,
à la périphérie ou
totalement externes aux programmes de
lycée, mais qui peuvent faire l'objet
d'activités expérimentales
et/ou de simulation.
La
suite de cette page contient une description
des divers chapitres de cette formation,
ainsi que des liens permettant d'accéder
à ces chapitres. A chaque chapitre
est associée une bibliographie très
courte, et bien sûr loin d'être
exhaustive. On trouvera là, plus
que des références encyclopédiques,
surtout un ensemble d'ouvrages qui ont inspiré
l'auteur, parfois depuis longtemps, parfois
de plus fraîche date, dans l'élaboration
du contenu de ce site. Enfin, on trouvera
à la fin de cette page quelques liens
(dont la pérennité n'est évidemment
pas garantie) vers des sites présentant
des ressources en relation avec les probabilités
et statistiques.
Avant
de commencer le cours [et à tout
moment de la formation], on pourra utiliser
les pages de rappels mentionnées
ci-dessous pour fixer un point de vocabulaire,
ou se remémorer une technique de
calcul. Des liens vers ces pages de rappels
figurent également à l'intérieur
des chapitres listés plus bas.
- Rappel
1 - Vocabulaire des probabilités,
techniques de calcul
- Partie
A
- Univers aléatoire, événements
élémentaires, événements,
probabilité
- Partie
B - Variables aléatoires,
loi, caractéristiques numériques
- Exercices
- Rappel
2 - Conditionnement
Les
quatre premiers chapitres du site concernent
la loi naïve des grands nombres, et
les choix de modélisation qui en
résultent. Notre objectif est de
faire apparaître la théorie
des probabilités comme une abstraction
mathématique dans laquelle "tout
est fait pour que la loi des grands nombres
soit vraie". La dernière partie
de la phrase peut se comprendre ainsi :
les objets introduits au sein du modèle
(probabilité et espérance
en particulier) le sont en conformité
avec les idées naïves que l'on
peut avoir après expérimentation,
et la théorie probabiliste construite
autour de ces définitions conduit
à des théorèmes qui,
une fois traduits dans la réalité,
se révèlent en accord avec
ces idées naïves. Il est important
de garder à l'esprit ce permanent
aller-retour entre théorie et expérience
qui est l'une des caractéristiques
des sciences "modélisatrices",
et pour lequel l'image de la physique ou
de la chimie nous semble tout à fait
pertinent.
- Chapitre
1 - Statistiques,
modélisation, probabilités
; réflexion épistémologique
et didactique.
- Partie
A - Introduction : le lien statistiques/probabilités
- Partie
B - Quelques points de vue sur
les modèles mathématiques
- Partie
C - Les lois du hasard sont quantitatives
et asymptotiques
- Partie
D - Fluctuation d'échantillonnage.
Expérimentation et simulation.
- Activité
sur le chapitre 1 - Autour de la simulation
avec Excel ; présentation des outils.
- Activité
1
- Utilisation d'un tableur et outils
statistiques - Données brutes
- Activité
2 - Utilisation d'un tableur et
outils statistiques - Données
regroupées
- Activité
3 - Simulation et fluctuation
d'échantillonnage
- Eléments
bibliographiques
- Chapitre
2 - Hasard discret, hasard continu. Modèles.
- Partie
A
- Hasard fini ou discret. Description
de situations pouvant conduire à
une expérience aléatoire
- Partie
B - Problèmes de modélisation
- Partie
C - Hasard continu : exemples
- Activité
sur le chapitre 2 - Simulations illustrant
les objets des modèles discrets
et continus à partir d'un générateur
de nombres aléatoires.
- Activité
1
- Simulation pour le problème
des anniversaires
- Activité
2 - Simulation pour le lancement
de plusieurs dés
- Activité
3 - Simulation pour une marche
aléatoire
- Eléments
bibliographiques
- Chapitre
3 - Loi faible des grands nombres, théorème
central-limite.
- Partie
A - Loi faible des grands nombres
- Partie
B
- Théorème central-limite
- Partie
C - Démonstration du théorème
central-limite dans le cas particulier
du jeu de pile ou face
- Partie
D - Démonstration du théorème
central-limite en utilisant les fonctions
caractéristiques (un schéma
de preuve)
- Activité
sur le chapitre 3 - Exercices faisant
intervenir le théorème central-limite
(voir aussi les chapitres 5 et 6 pour
des activités sur les sondages,
les notions de fourchette, de seuil de
confiance...)
- Activité
1 - Exercices faisant intervenir
le théorème central-limite
- Activité
2 - Exercices utilisant la notion
de fonction caractéristique
- Eléments
bibliographiques
- Chapitre
4 - Différences et analogies entre
loi faible et loi forte des grands nombres
- Partie
A - Différences et analogies
entre lois faibles et lois fortes
- Partie
B - Deux applications en analyse
de la loi des grands nombres
- Partie
C
- Etude d'un modèle théorique
du jeu de pile ou face
- Activités
sur le chapitre 4
- Illustrations de la loi faible, techniques
de renormalisation, contre-exemples
- Activité
1 - Simulation illustrant la loi
faible : convergence de suites de
variables aléatoires et renormalisation
des écarts.
-
Activité
2 - Etude d'un exemple de "hasard
sauvage" [vocabulaire emprunté
à Benoît Mandelbrot]
dans lequel la loi forte et la loi
faible des grands nombres ne s'appliquent
pas.
- Eléments
bibliographiques
Les
chapitres 5 et 6 portent sur la théorie
de l'estimation et des tests statistiques.
Ils visent à donner un apport de
connaissances sur les éléments
de statistiques inférentielles présents
dans un certain nombre de programmes de
lycées et BTS. Ces chapitres s'appuient
sur le théorème central-limite
rencontré au préalable, ils
sont illustrés par des activités
issues de manuels de lycée, et en
particulier par des investigations sur des
probabilités difficiles voire impossibles
à calculer mais assez faciles à
estimer.
- Chapitre
5 - Estimation statistique ; fourchette
et intervalle de confiance, seuil de confiance.
- Partie
A - Echantillonnage
- Partie
B - Estimateurs ponctuels : vocabulaire
et propriétés
- Partie
C - Estimation par intervalles
de confiance
- Activité
sur le chapitre 5 - Exemples d'estimations
de probabilités par simulation.
- Activité
1 - Estimation d'une probabilité,
fourchette d'un sondage
- Activité
2
- Activité pour la classe :
simulation de sondage, fluctuation
d'échantillonnage
- Activité
3 - Efficacité d'un estimateur
(comparaison de deux estimateurs par
simulation)
- Eléments
bibliographiques
- Chapitre
6 - Théorie des tests statistiques.
- Partie
A - Tests d'hypothèses
- Partie
B
- Tests d'ajustement, tests d'indépendance
- Activité
sur le chapitre 6 - Pratique des tests
statistiques sur des données réelles
ou obtenues par simulation.
- Eléments
bibliographiques
Le
chapitre 7 s'appuie sur tout ce qui précède
pour fournir une approche statistique de
la notion de conditionnement et d'indépendance.
Cette approche vise à fournir des
éléments épistémologiques
et didactiques susceptibles de faciliter
l'introduction de ces notions face aux élèves.
Elle nous conduit assez naturellement à
introduire deux concepts hors des programmes
de lycée : celui d'indépendance
de variables aléatoires (généralisation
assez naturelle de l'indépendance
des événements) et celui d'espérance
conditionnelle, a priori moins naturel mais
dont on observe tous les jours des exemples
dans l'interprétation des sondages.
- Chapitre
7 - Approche statistique de l'indépendance
et du conditionnement. Espérance
conditionnelle.
- Partie
A - Probabilité conditionnelle,
événements indépendants
- Partie
B - Conditionnement d'une variable
aléatoire par une autre. Indépendance
de variables aléatoires
- Partie
C
- Espérance conditionnelle
- Partie
D - Propriétés de
l'espérance conditionnelle
- Activité
sur le chapitre 7 - Exercices sur l'indépendance,
tests d'indépendance
- Activité
1 - Exercices faisant intervenir
la notion d'indépendance et
de conditionnement
- Activité
2 - Tests
d'indépendance
- Eléments
bibliographiques
Les
quatre derniers chapitres forment une ouverture
vers un certain nombre de domaines que l'on
rencontre, parfois sans le savoir, dans
les exercices de lycée, domaines
pour lesquels existent souvent des théories
tout à fait constituées dont
la connaissance permet de replacer ces exercices
ou activités en contexte, voire d'en
proposer de nouveaux. Le dernier chapitre
tient une place un peu particulière,
puisqu'il propose l'étude d'un certain
nombre de problèmes et de méthodes
d'analyse combinatoire : on quitte là
la démarche statistique suivie dans
l'ensemble de ce cours pour revenir à
une questionnement classiquement associé
aux probabilités, celui des dénombrements.
On verra que se trouvent là quelques
merveilles de raisonnement qui méritaient
bien une petite digression...
- Chapitre
8 - Loi forte des grands nombres, initiation
à la théorie des grandes
déviations.
- Partie
A - Lemme de Borel-Cantelli
- Partie
B - Convergence presque sûre
et loi forte des grands nombres
- Partie
C
- Grandes déviations
- Activité
sur le chapitre 8 - Etude de comportement
asymptotique de suites aléatoires
- Activité
1 - Utilisations du lemme de Borel-Cantelli
et de la loi forte
- Activité
2 - Grandes déviations
- Activité
3 - Visualisation de l'évolution
de moyennes empiriques - Retour sur
la loi de Cauchy
- Eléments
bibliographiques
- Chapitre
9 - Marches aléatoires, chaînes
de Markov ; stabilisation asymptotique
des lois de probabilité.
- Partie
A - Définitions et exemples
- Partie
B - Comportement asymptotique
: états transitoires et récurrents,
retours et temps de retour
- Partie
C
- Culture mathématique : étude
algébrique des matrices stochastiques
(théorème de Perron-Frobenius)
- Activité
sur le chapitre 9 - Simulation de déroulement
de chaînes de Markov, illustration
de la stabilisation asymptotique des fréquences,
distributions stationnaires.
- Activité
1 - Etude algébrique et
par simulation de chaînes de
Markov, comportement asymptotique
- Activité
2 - Problématiques scientifiques
modélisées par des chaînes
de Markov
- Eléments
bibliographiques
- Chapitre
10 - Mourir sans vieillir : modèles
exponentiels de certains phénomènes
physiques ou biologiques. Processus de
Poisson associés.
- Partie
A
- Etude d'un exemple : modèle
microscopique de la désintégration
radioactive
- Partie
B
- Théorie du renouvellement
- Processus de Poisson associé
- Activité
sur le chapitre 10 - Illustration des
prévisions associées au
modèle exponentiel, mise en évidence
des lois limites et validation par simulation
en utilisant les outils statistiques mis
en place dans les chapitres 5 et 6.
- Activité
1 - Théorie du renouvellement
- Etude du processus de Poisson associé
à une somme de variables exponentielles
indépendantes (exercice)
- Activité
2 - Théorie du renouvellement
- Etude par simulation
- Eléments
bibliographiques [A
ECRIRE]
- Chapitre 11
- Problèmes et méthodes
d'analyse combinatoire
- Partie
A - Problèmes de dénombrement
- Partie
B - La méthode des fonctions
génératrices
- Partie
C - Problèmes d'existence
: le principe des tiroirs de Dirichlet
- Activité
sur le chapitre 11 - Formules de dénombrement,
méthodes informatiques
- Activité1
- Exercices classiques de dénombrement
- Activité
2 - Utilisation des outils informatiques
pour traiter des problèmes
de dénombrement
- Eléments
bibliographiques
- Liens vers
des ressources externes